К вопросу о формировании универсальных учебных действий в процессе преподавания элективного курса по математике

В наше время роль комбинаторики существенно изменилась. Если раньше комбинаторика часто воспринималась только как занимательная часть математической науки, то после появления ЭВМ и связанного с этим расцветом конечной математики комбинаторные методы стали значительно более востребованными, они применяются сегодня в теории случайных процессов, в вычислительной математике, в планировании экспериментов. Теория графов с практической точки зрения также один из наиболее востребованных сегодня разделов дискретной математики. Она используется при проектировании интегральных схем и систем управления, исследовании автоматов и логических цепей, при системном анализе, автоматизированном управлении производством, при разработке вычислительных и информационных сетей. Обширное применение теория графов находит также в вычислительной технике и кибернетике в теоретическом программировании, при проектировании ЭВМ и баз данных. Графы также успешно применяются для решения задач планирования выбора оптимальных маршрутов, решения некоторых проблем, имеющих место в биологии и психологии.

Отметим, что избранные разделы дискретной математики являются не только востребованными в науке и практике, но и наиболее доступными для изучения старшеклассниками. Кроме того, материал этих разделов достаточно удачен для формирования универсальных учебных действий, особенно действия моделирования.

Весь отобранный материал по комбинаторике и основам теории графов разделен на 15 тем, перечень вопросов, изучаемых в рамках каждой из которых, приведен ниже.

Тема 1. Множества, кортежи, отображения. Введение в комбинаторику. Множество. Кортеж. Отображение.

Тема 2. Основные законы комбинаторики. Правила суммы и произведения.

Тема 3. Основные комбинаторные соединения. Факториал. Размещения, сочетания, перестановки с повторениями и без повторений. Формулы для числа основных комбинаторных соединений.

Тема 4. Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностей. Классическое определение вероятности. Вероятностные задачи, в которых применяются элементы комбинаторики.

Тема 5. Сочетания и биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

Тема 6. Рекуррентные соотношения. Рекуррентное соотношение. Примеры рекуррентных соотношений. Арифметическая и геометрическая прогрессии как рекуррентные соотношения. Числа Фибоначчи.

Тема 7. Основные понятия теории графов. Граф. Смежные вершины. Дополнение к графу. Мультиграф. Псевдограф. Степень вершины. Висячие и изолированные вершины. Лемма о рукопожатиях. Теоремы о вершинах графа. Изоморфные графы.

Тема 8. Полный граф и нуль-граф. Путь, цикл. Связный граф. Нуль-граф. Полный граф. Теорема о числе ребер полного графа на п вершинах. Маршрут. Путь. Связанные вершины. Связный граф. Теорема о связности графа либо его дополнения.

Тема 9. Деревья. Регулярные графы. Дерево. Каркас графа. Лес. Теорема о числе вершин и ребер дерева. Регулярный граф. Теорема о существовании к-регулярного графа на п вершинах.

Тема 10. Двудольные графы. Двудольный, полный двудольный граф. Теоремы о вершинах и ребрах двудольного графа. Теорема Кенига.

Тема 11. Ориентированные графы. Ориентированный, смешанный, полный ориентированный граф. Турнир. Полустепени захода и исхода вершины. Теорема о числе ребер орграфа. Корневое дерево. Теоремы о существовании ориентированного цикла и пути в орграфе.

Тема 12. Способы представления графов. Необходимость различных способов представления графов. Нагруженный (взвешенный) граф. Матрицы смежности и расстояний. Применение матричных способов представления графов в программировании.

Статьи по теме:

Эмпирическое исследование сохранения объема
Цель нашего исследования, выявить до какого возраста в наше время сохраняется феномен «сохранения объема». Для этого мы взяли задачу Пиаже на сохранение объема и провели индивидуальное собеседование с группой детей. В нашу группу вошли испытуемые от 3-х до 6-ти лет, по два ребенка на каждый возраст ...

Система самостоятельных работ тематического контроля знаний учащихся
В этом параграфе мы рассмотрим систему контрольных самостоятельных работ, составленную с учетом возможностей и уровня подготовки учащихся 8 класса при организации личностно - ориентированной формы обучения. Самостоятельная работа № 1. Форма проведения. Индивидуальная. Письменная работа. Время прове ...

Сущность и содержание понятий "качество образования", "мониторинг качества образования"
Поиск концептуальных идей модернизации системы российского образования ныне все больше связывается с идеей его качества, которая многими научными и практическими работниками рассматривается как ключевая и доминирующая. Действительно, интенсивно разрабатываемые вопросы гуманизации и демократизации о ...