Формы записи высказываний. Алгоритмические способы решения логических задач

Алгоритм решения:

Кодирование: обозначение искомых с помощью булевых переменных (принимающих значения 0, 1) и описание содержания этих переменных.

Запись условия в виде системы логических уравнений, в правых частях которых — единицы.

Замечание. Если правая часть уравнения — нуль, то отрицанием левой части она приводится к единице.

Образование конъюнкции левых частей системы и приравнивание ее единице. Полученное уравнение называется характеристическим. Оно равносильно исходной системе уравнений: каждое решение системы является решением характеристического уравнения, и наоборот.

Обоснование. Пусть некоторый порядок значений переменных является решением системы уравнений. При подстановке в характеристическое уравнение он обращает каждый сомножитель конъюнкции в единицу, следовательно, и конъюнкция равна единице.

Верно и обратное — каждое решение характеристического уравнения (обращающее конъюнкцию в единицу) обращает в единицу все сомножители конъюнкции, следовательно, удовлетворяет системе уравнений.

Приведение левой части характеристического уравнения к ДНФ (в частности, к СДНФ).

Замечание. При раскрытии скобок в левой части характеристического уравнения по второму распределительному закону значительные упрощения получаются за счет использования законов противоречия, исключенного третьего, исключения повторений (сомножителей, слагаемых), а также поглощения.

Приравнивание каждого слагаемого СДНФ, независимо от других, единице и извлечение из уравнений (левые части которых — конъюнкции переменных или их отрицаний) значений переменных. Каждый их набор является решением задачи.

Обоснование. Каждый набор найденных значений переменных обращает в единицу хотя бы одно слагаемое дизъюнкции, т. е. является решением характеристического уравнения.

Замечание. Если после упрощений в ДНФ осталось одно слагаемое, задача имеет единственное решение, если более одного — несколько решений. В случае, когда в левой части характеристического уравнения все слагаемые уничтожаются, задача не имеет решения (данные не совместны).

Применим этот алгоритм к решению задачи.

Задача. (Кто смотрит телевизор?)

Семья состоит из пяти человек: Алексей (А), Вера (В), Глеб (Г), Даша (Д), Евгений (Е).

Если телевизор смотрит А, то смотрит и В;

смотрят либо Д, либо Е, либо оба вместе;

смотрят либо В, либо Г, но не вместе;

Д и Г либо смотрят вместе, либо вовсе не смотрят;

если смотрит Е, то смотрят А и Д.

Кто смотрит телевизор?

Решение:

Записываем в виде системы логических уравнений:

Преобразуем в характеристическое уравнение:

Приведем левую часть характеристического уравнения к СДНФ:

Получили одно слагаемое, следовательно, задача имеет единственное решение. Приравнивание каждого слагаемого СДНФ единице и извлечение из уравнения значение переменных.

Таким образом, получили ответ: телевизор смотрят Глеб и Даша.

Статьи по теме:

Аспекты изучения английского языка
Основываясь на данных прагмалингвистики и взяв во внимание изменившийся статус иностранного языка как средства общения и взаимопонимания в мировом сообществе, все психологические особенности обучения иностранному языку старшеклассников группируются вокруг необходимости усиления прагматических аспек ...

Психологические особенности старшего подросткового возраста
коммуникативный учащийся обучение видеокурс Родители, педагоги, медики, работники милиции и другие лица, несущие и осознающие ответственность за молодежь, испытывают одинаковое желание - видеть то, как молодые люди становятся здоровыми и ответственными взрослыми. К сожалению, многие молодые люди ок ...

Сущность Национального проекта «Образование»
Цель политики модернизации образования в среднесрочной перспективе состоит в обеспечении конкурентоспособности России на мировом уровне. Указанная цель достижима, если в ближайшие годы обеспечить оптимальное соотношение затрат и качества в сферах образования и науки. Для этого необходимо внедрить в ...