Формы записи высказываний. Алгоритмические способы решения логических задач

Алгоритм решения:

Кодирование: обозначение искомых с помощью булевых переменных (принимающих значения 0, 1) и описание содержания этих переменных.

Запись условия в виде системы логических уравнений, в правых частях которых — единицы.

Замечание. Если правая часть уравнения — нуль, то отрицанием левой части она приводится к единице.

Образование конъюнкции левых частей системы и приравнивание ее единице. Полученное уравнение называется характеристическим. Оно равносильно исходной системе уравнений: каждое решение системы является решением характеристического уравнения, и наоборот.

Обоснование. Пусть некоторый порядок значений переменных является решением системы уравнений. При подстановке в характеристическое уравнение он обращает каждый сомножитель конъюнкции в единицу, следовательно, и конъюнкция равна единице.

Верно и обратное — каждое решение характеристического уравнения (обращающее конъюнкцию в единицу) обращает в единицу все сомножители конъюнкции, следовательно, удовлетворяет системе уравнений.

Приведение левой части характеристического уравнения к ДНФ (в частности, к СДНФ).

Замечание. При раскрытии скобок в левой части характеристического уравнения по второму распределительному закону значительные упрощения получаются за счет использования законов противоречия, исключенного третьего, исключения повторений (сомножителей, слагаемых), а также поглощения.

Приравнивание каждого слагаемого СДНФ, независимо от других, единице и извлечение из уравнений (левые части которых — конъюнкции переменных или их отрицаний) значений переменных. Каждый их набор является решением задачи.

Обоснование. Каждый набор найденных значений переменных обращает в единицу хотя бы одно слагаемое дизъюнкции, т. е. является решением характеристического уравнения.

Замечание. Если после упрощений в ДНФ осталось одно слагаемое, задача имеет единственное решение, если более одного — несколько решений. В случае, когда в левой части характеристического уравнения все слагаемые уничтожаются, задача не имеет решения (данные не совместны).

Применим этот алгоритм к решению задачи.

Задача. (Кто смотрит телевизор?)

Семья состоит из пяти человек: Алексей (А), Вера (В), Глеб (Г), Даша (Д), Евгений (Е).

Если телевизор смотрит А, то смотрит и В;

смотрят либо Д, либо Е, либо оба вместе;

смотрят либо В, либо Г, но не вместе;

Д и Г либо смотрят вместе, либо вовсе не смотрят;

если смотрит Е, то смотрят А и Д.

Кто смотрит телевизор?

Решение:

Записываем в виде системы логических уравнений:

Преобразуем в характеристическое уравнение:

Приведем левую часть характеристического уравнения к СДНФ:

Получили одно слагаемое, следовательно, задача имеет единственное решение. Приравнивание каждого слагаемого СДНФ единице и извлечение из уравнения значение переменных.

Таким образом, получили ответ: телевизор смотрят Глеб и Даша.

Статьи по теме:

Школьный урок и его влияние на положительное развитие ребенка
Подготовка учащихся к жизни, труду и творчеству закладывается в общеобразовательной школе. Для этого процесс обучения и организационная методика урока должна быть построена так, чтобы широко вовлекать учащихся в самостоятельную творческую деятельность по усвоению новых знаний и успешному применению ...

Оптимальное развитие различных видов мыслительной деятельности
Проблемность и другие принципы развития творческого мышления не могут быть реализованы без учета возрастных и индивидуально-типических особенностей мышления. Возрастным особенностям интеллектуального развития посвящено немало исследований. В них выявлена стадиальность развития интеллекта, дана хара ...

Средства, методы и условия воспитания толерантности у детей дошкольного возраста
Методы нравственного воспитания — это пути и способы реализации задач и содержания нравственного воспитания. Методы нравственного воспитания определяются его целью, содержанием, а также возрастными возможностями детей. Основные функции методов данной группы — формирование опыта общественного поведе ...