Обучающий эксперимент и анализ его результатов

Этой цели может служить, например, такое задание: “Число 6 представим в виде суммы всех его делителей, исключая из их состава само это число (6 = 1 + 2 + 3). Установите, сколько в первых двух десятках натуральных чисел (1, 2, 3, …, 20) существует чисел, равных сумме всех своих делителей (такие числа называют совершенными)”. Учащиеся путем перебора получают ответ. При этом следует добиваться от них понимания того, что полученный вывод (в первых двух десятках натуральных чисел содержится одно “совершенное” число — число 6, ближайшим следующим “совершенным” числом, которое можно обнаружить путем проб, является 28: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) является строго (научно) обоснованным, так как примененный метод полной индукции (так называемый метод перебора) является научным и широко применяется в математике при доказательстве теорем и решении задач.

Методом полной индукции (рассмотрением всех возможных случаев) может быть уже в младших классах школы доказана теорема: “В первой сотне натуральных чисел содержится 25 простых чисел”.

Подчеркивая роль дедуктивных доказательств (дока­зательств в общем виде), учитель должен обратить внимание учащихся на роль наблюдений и неполной индукции при “открытии” математических закономерностей, при нахождении способа решения самых разнообразных математических задач, на роль полной индукции при обосновании найденных индуктивным путем закономерностей.

Поясним сказанное примерами. Рассмотрим задачу:

“Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?”

Прежде, чем решать эту задачу в общем виде, целесообразно на нескольких частных примерах выяснить, каким числом (простым или составным) могут быть указанные в задаче суммы. С помощью примеров можно получить гипотезы: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел — число составное; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел — число составное.

Полученные на примерах (с помощью неполной индукции) гипотезы легко доказываются в общем виде.

Другая задача: “Может ли разность двух трехзначных чисел, из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть квадратом натурального числа?”

На наших занятиях прежде чем решать эту задачу в общем виде, учащийся должен был на частных примерах, с помощью неполной индукции, получить предполагаемый ответ (выска­зать гипотезу): рассматриваемая разность не может быть равна квадрату какого-либо натурального числа. Дедуктивное обоснование этой гипотезы, как правило, не вызывает у учащихся затруднений.

Учащиеся должны понимать, что на частных примерах никакого утверждения доказать нельзя. Частный пример ничего не доказывает в математике, но он может подвести к правильному выводу.

В отличии от неполной индукции полная индукция имеет доказательную силу, и ее роль при решении многих алгебраических задач (прежде всего на делимость), трудно переоценить.

Приведем примеры. Пусть учащимся предложена задача: “Докажите, что любую сумму большую 7 к., можно уплатить трех- и пятикопеечными монетами не получая сдачи”.

Для решения этой задачи достаточно проверить, что трех- и пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к. (8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 + 5), а затем добавлять монеты по 3 к.

Решив таким образом задачу, следует добиться от учащихся ясного понимания того, что задача решена с помощью полной индукции: все числа большие 7, разбили на три непересекающихся класса — 8 + 3k, 9 + 3k, 10 + 3k, где k ÎN, в каждом из которых решение задачи существует.

Статьи по теме:

Барьеры общения и актуальность их минимизации в условиях совместной деятельности
Актуальность проблемы "барьеров" общения обусловлена целым рядом факторов. Прежде всего наличием и расширением сферы влияния таких видов профессиональной деятельности, существование которых связано с системой взаимоотношений "человек-человек". Очевидно, что в сфере бизнеса, педа ...

Задачи, методы и организация исследования
Задачи исследования. Сформулированная во введении цель работы позволила определить задачи исследования. Определить начальный уровень физической подготовленности у юношей IX и X классов. Обосновать эффективность использования силовых и скоростно-силовых упражнений на уроках физической культуры юноше ...

Принципы отбора содержания системы самостоятельных работ тематического контроля знаний учащихся
Предлагаемая система самостоятельных работ предназначена для осуществления контроля за знаниями учащихся 8 классов. Ее содержание ориентировано на учебник Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С. Б Суваровой; под редакцией С.А. Теляковского "Алгебра. Учебник для 8 класса средней школы&qu ...